「テレビのクイズ番組にあなたは参加しています。番組の中で3つのドアがあって、そのうち1つのドアの後ろには新車が、2つのドアの後ろにはヤギがいます。あなたからは、ドア向こうが何かわかりませんが、新車の隠れているドアを開けると新車がもらえます。ヤギの隠れているドアを開けても何ももらえません。あなたが1つのドアを選んだ後、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者が残りの2つのドアのうちヤギがいる方のドアを開けました。そして、今あなたは自分が選んだドアと、残っている開けられていないドアを交換しても良いと言われます。あなたは交換すべきでしょうか。」

多くの人は「2つのドアが開けられていないので、ヤギか新車かはどちらのドアも50％づつ」だから「変えない」と考えます。ところが、直感的には正しそうなこの答は間違いです。残っている方のドアの後ろに新車がある確率は50％ではなく、3分の2、約66.7％なのです。

この問題はLet’s Make a Dealという実際のアメリカのテレビ番組がもとになっていて、番組の司会者のモンティ・ホールの名前をとってモンティ・ホール問題（Monty Hall Problem）と呼ばれています。この話が有名になったのは、パレードマガジン誌のコラムニストのマリリン・ヴォン・サヴァント（自称IQ228と称しているそうですが）が1990年9月9日号で読者からの質問に答えたことに始まります。

サヴァント

サヴァントはドアを変えれば新車がもらえる確率は3分の1から3分の2に高まると言ったのですが、納得できない読者から山のような（1万通！）投書を受ける羽目になります。反論を寄せた人には一般の人だけでなく、大学教授や確率論の専門家もいました。納得しなかった有名人には20世紀最大の数学者の一人と呼ばれるエルディッシュもいました。

答えはこうなります。まず、最初に選んだドアの後ろに新車が隠れている確率は3分の１です。これは司会者が残りのドアのうち1つを開けようが、開けまいが変わりません。ところが司会者が開けなかったドアは、違います。片方がドアが開けられる前は2つのドアのどちらかに新車がある確率は3分の2ですが、ヤギが隠れているドアが開けられたので、3分の2の確率は残されたドアが独り占めします。結果的には1つのドアが開けられることで、残りのドアの後ろに新車がある確率は3分の2になります。

納得されたのでしょうか。この結果はコンピューターでシミュレーションをしたり、実際に模型を使って、実験することで確かめられるのですが、理屈はわかっても釈然としないかもしれません。納得されない方はドアが100あると考えてみてください。この場合1つのドアを選んだら、その後ろに新車がある確率は100分の1、1％になります。さて、司会者が99残っているドアのうちヤギが隠れている98のドア全部を開けたとしましょう。この時、開けられていないドアに新車がある確率は99％、あなたのドアの確率は依然として１％です。ドアを交換しない手はありません。これは大分納得しやすい気がするのではないでしょうか。

似たような問題をもう一つ。ある人に子供が二人いることがわかっています。二人のうち、一人が男の子だとわかったとき、もう一人が男の子、女の子である確率はどれくらいでしょうか。

「もちろん、50％づつだ」と思う人が多いと思いますが、答えは女の子である確率が3分の2、男の子である確率は3分の1です。二人の子供がいるとき、年上を左、年下を右に書いて、組み合わせを考えると、1）（女、女）2）（女、男）3）（男、女）4）（男、男）です。二人のうち一人が男の子とわかったわけですから、1）はありえません。残った組み合わせは2）、3）、4）ですが、残りの一人も男であるのは4）だけです。したがって、男の子である確率は3分の1となります。

これも説明を聞いてもすぐには納得しがたいものがあるのではないかと思います。問題を変えて男の子がいて、兄弟が一人いることがわかったとします。その兄弟が男の子である確率と、女の子である確率はどうでなるでしょう。この場合は五分五分です。女の子である確率が3分の2ということはありません。何が違うというのでしょうか。

この問題は多少引っ掛けがあるのかもしれません。「もう一人」という言い方がそうです。本当は最初の質問は「もう一人」の性別を聞いているのではなく、兄弟が男、女のどんな組み合わせになっているのかを尋ねているのです。

最初の問題の形を変えて、黒い石と白い石が同じ数だけ入っている大きな袋から一個づつ石を取り出すことを考えて見ましょう。袋からは2個石を取り出し、2個づつ小さな袋に入れるとします。2個取り出すときの取り出し方は、（黒、黒）、（黒、白）、（白、黒）、（白、白）の4通りです。ここで、小さな袋の石の少なくとも一つがが黒だったとわかったとしましょう。もう1個の石の色は何色でしょうか。黒の入っている袋は、（黒、白）、（白、黒）、（黒、黒）のどれかの組み合わせですから、白である確率が3分の2、黒である確率は3分の1になるでしょう。

結局、質問はある石が黒か白かを聞いているのではなく、袋の中身が（黒、白）、（白、黒）、（黒、黒）のいずれか、つまり組み合わせのパターンを聞いているということになります。「もう一人」という言葉が、誤解を招く原因になっているわけですが、引っ掛けに目をつむれば、モンティ・ホール問題でドアを開けても、残りのドアの後ろに新車が隠れている確率が変わらないと思ったのと同じように（正確に言うと、開けたドアにヤギがいたという情報は、最初に選んだドアと残ったドアに公平に新車がいるの確率を高めると考えた）、「男の子がいる」という情報が何も状況を変えないと思った点で共通しています。

上記の男の女の子、黒石、白石を選ぶ問題は、どうも1/3、2/3ではなく1/2、1/2という普通の人の推論が当たっているようです。通俗書の解説をそのまま採用したのですが、コメントでkiwiさんからご指摘をうけました。考え直した私の答えは、


モデルを少し変えて、
Ａ（黒ｘ１００）、Ｂ（黒ｘ１、白ｘ９９）、Ｃ（白ｘ９９、黒ｘ１）、Ｄ（白ｘ１００）
のようなケースを考え、最初に袋から黒を取りだしたとします。取りだした袋はＡ、Ｂ、Ｃのいずれかで、Ｂ、Ｃなら次に取りだす石は白ですが、最初に取りだした石はＡの袋に入っていた確率は１００／１０２で、次も栗である確率もその通りになるのは直感的にも明らかです。

ということです。この話は私同様の間違いをしている本がいくつも出ているので、ご注意のほどを。

18世紀のイギリスの数学者トーマス・ベイズはある事が起きる確率（事前確率）が何か情報をもたらせてくれる出来事が起こった後はどうかわるか（事後確率）ということに、ついてベイズの定理と呼ばれる計算式を見つけ出しました。ここでベイズの定理でモンティ・ホール問題を解きなおすことはしませんが（数学の得意な方にはごめんなさい）、ベイズの定理を使うと3つのドアの後ろに新車が隠れている「事前確率」は皆3分の1ですが、回答者が取らなかった2つのドアの一方が開けられると、開けられなかった方のドアの事後確率は3分の1から3分の2になることがわかります。

トーマス・ベイズ

ベイズの定理の応用の例として、偽陽性の問題があります。今1万人に1人が罹患する病気があったとします。この病気にかかっているかどうかを検査する検査薬があって、検査の精度は99％だとすると、検査で陽性になったとき、本当に罹患している確率はどれくらいでしょうか。99％の精度と聞いて、陽性と言われると99％罹患していると思ってしまうかもしれませんが、そうではありません。

この病気に罹患している確率は事前確率として1万の1です。99％の精度を誇る検査薬で陽性になったわけですが、本当に罹患して陽性になるのは、1万分の1の99％つまり99％の1万分の１、確率0.000099です。これに対し、本当は罹患していないのに検査薬のエラーで陽性になる確率は、1万分の9,999の1％、0.00999です。ですから、検査薬で陽性になったという条件が発生して、本当に罹患しているという事後確率は0.000099/(
0.000099+0.00999)=約0.01（1％）です。つまり、陽性と言われても、たった1％しか本当に病気である確率はないのです。

これだけならヘェーというだけかもしれませんが、DNA検査ように非常に高い確度で本人を特定できると思われているような場合注意が必要です。DNAバンクみたいなものを作って全国民を登録してしまった場合、DNAが同一であると特定された人が犯人である確かさは、DNA検査のエラーの確率が1千分の１、1百万分の1、100億分の1で大きく違ってきます。DNA検査が100億分の1のエラーしか起こさないなら、DNAが同一なら犯人である確率は国民が1億だとして99％ですが、100万分の1なら1％、千分の1なら0.001％しかありません。千に1つしか間違えない検査で犯人とされたらほとんど間違いないと思われそうですが、とんでもないわけです。

DNA検査の偶然の一致確率は、実際は1億8千万の１とか、最新技術で77兆分の1とか言われています。しかし、これらの値は「理論的」なDNAの一致確率で、検査自身がエラーを起こすことは考慮されていないでしょう。実際には77兆分の1のエラーしか起こさないような検査は、検査者や測定機械の間違いの可能性を考えれば、あまりありそうもありません。DNA検査による犯人探しは、他の証拠で犯人がある程度絞り込まれた状況でないと、間違えてしまう危険があると思うほうが良いでしょう。アメリカでは指紋については10年に1度くらいで、間違えることがあると言われています。

ベイズの定理の事前確率、事後確率という考え方を入れることで、事前確率がそれほど確かなものでなくても、新しい情報で事後確率を上げていくことが可能になります。科学の世界では事後確率を大きく向上させるような発見は価値が高いと考えられるので、科学的成果の定量化を行うことにも使えます。また、迷惑メールの発見に、システムが学習しながら事後確率を高めることにも使われています。ベイズの定理は2世紀以上を経過して、インターネットの世界でも重要性を増してきています。