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馬場正博: 元IT屋で元ビジネスコンサルタント。今は「A Thinker(?)]というより横丁のご隠居さん。大手外資系のコンピューター会社で大規模システムの信頼性設計、技術戦略の策定、未来技術予測などを行う。転じたITソリューションの会社ではコンサルティング業務を中心に活動。コンサルティングで関係した業種、業務は多種多様。規模は零細から超大企業まで。進化論、宇宙論、心理学、IT、経営、歴史、経済と何でも語ります。

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モンティホール問題
monty_hall_problem.jpg

「テレビのクイズ番組にあなたは参加しています。番組の中で3つのドアがあって、そのうち1つのドアの後ろには新車が、2つのドアの後ろにはヤギがいます。あなたからは、ドア向こうが何かわかりませんが、新車の隠れているドアを開けると新車がもらえます。ヤギの隠れているドアを開けても何ももらえません。あなたが1つのドアを選んだ後、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者が残りの2つのドアのうちヤギがいる方のドアを開けました。そして、今あなたは自分が選んだドアと、残っている開けられていないドアを交換しても良いと言われます。あなたは交換すべきでしょうか。」

多くの人は「2つのドアが開けられていないので、ヤギか新車かはどちらのドアも50%づつ」だから「変えない」と考えます。ところが、直感的には正しそうなこの答は間違いです。残っている方のドアの後ろに新車がある確率は50%ではなく、3分の2、約66.7%なのです。

この問題はLet’s Make a Dealという実際のアメリカのテレビ番組がもとになっていて、番組の司会者のモンティ・ホールの名前をとってモンティ・ホール問題(Monty Hall Problem)と呼ばれています。この話が有名になったのは、パレードマガジン誌のコラムニストのマリリン・ヴォン・サヴァント(自称IQ228と称しているそうですが)が1990年9月9日号で読者からの質問に答えたことに始まります。
Savant.gif
サヴァント

サヴァントはドアを変えれば新車がもらえる確率は3分の1から3分の2に高まると言ったのですが、納得できない読者から山のような(1万通!)投書を受ける羽目になります。反論を寄せた人には一般の人だけでなく、大学教授や確率論の専門家もいました。納得しなかった有名人には20世紀最大の数学者の一人と呼ばれるエルディッシュもいました。

答えはこうなります。まず、最初に選んだドアの後ろに新車が隠れている確率は3分の1です。これは司会者が残りのドアのうち1つを開けようが、開けまいが変わりません。ところが司会者が開けなかったドアは、違います。片方がドアが開けられる前は2つのドアのどちらかに新車がある確率は3分の2ですが、ヤギが隠れているドアが開けられたので、3分の2の確率は残されたドアが独り占めします。結果的には1つのドアが開けられることで、残りのドアの後ろに新車がある確率は3分の2になります。

納得されたのでしょうか。この結果はコンピューターでシミュレーションをしたり、実際に模型を使って、実験することで確かめられるのですが、理屈はわかっても釈然としないかもしれません。納得されない方はドアが100あると考えてみてください。この場合1つのドアを選んだら、その後ろに新車がある確率は100分の1、1%になります。さて、司会者が99残っているドアのうちヤギが隠れている98のドア全部を開けたとしましょう。この時、開けられていないドアに新車がある確率は99%、あなたのドアの確率は依然として1%です。ドアを交換しない手はありません。これは大分納得しやすい気がするのではないでしょうか。

似たような問題をもう一つ。ある人に子供が二人いることがわかっています。二人のうち、一人が男の子だとわかったとき、もう一人が男の子、女の子である確率はどれくらいでしょうか。

「もちろん、50%づつだ」と思う人が多いと思いますが、答えは女の子である確率が3分の2、男の子である確率は3分の1です。二人の子供がいるとき、年上を左、年下を右に書いて、組み合わせを考えると、1)(女、女)2)(女、男)3)(男、女)4)(男、男)です。二人のうち一人が男の子とわかったわけですから、1)はありえません。残った組み合わせは2)、3)、4)ですが、残りの一人も男であるのは4)だけです。したがって、男の子である確率は3分の1となります。

これも説明を聞いてもすぐには納得しがたいものがあるのではないかと思います。問題を変えて男の子がいて、兄弟が一人いることがわかったとします。その兄弟が男の子である確率と、女の子である確率はどうでなるでしょう。この場合は五分五分です。女の子である確率が3分の2ということはありません。何が違うというのでしょうか。

この問題は多少引っ掛けがあるのかもしれません。「もう一人」という言い方がそうです。本当は最初の質問は「もう一人」の性別を聞いているのではなく、兄弟が男、女のどんな組み合わせになっているのかを尋ねているのです。

最初の問題の形を変えて、黒い石と白い石が同じ数だけ入っている大きな袋から一個づつ石を取り出すことを考えて見ましょう。袋からは2個石を取り出し、2個づつ小さな袋に入れるとします。2個取り出すときの取り出し方は、(黒、黒)、(黒、白)、(白、黒)、(白、白)の4通りです。ここで、小さな袋の石の少なくとも一つがが黒だったとわかったとしましょう。もう1個の石の色は何色でしょうか。黒の入っている袋は、(黒、白)、(白、黒)、(黒、黒)のどれかの組み合わせですから、白である確率が3分の2、黒である確率は3分の1になるでしょう。

結局、質問はある石が黒か白かを聞いているのではなく、袋の中身が(黒、白)、(白、黒)、(黒、黒)のいずれか、つまり組み合わせのパターンを聞いているということになります。「もう一人」という言葉が、誤解を招く原因になっているわけですが、引っ掛けに目をつむれば、モンティ・ホール問題でドアを開けても、残りのドアの後ろに新車が隠れている確率が変わらないと思ったのと同じように(正確に言うと、開けたドアにヤギがいたという情報は、最初に選んだドアと残ったドアに公平に新車がいるの確率を高めると考えた)、「男の子がいる」という情報が何も状況を変えないと思った点で共通しています。

上記の男の女の子、黒石、白石を選ぶ問題は、どうも1/3、2/3ではなく1/2、1/2という普通の人の推論が当たっているようです。通俗書の解説をそのまま採用したのですが、コメントでkiwiさんからご指摘をうけました。考え直した私の答えは、


モデルを少し変えて、
A(黒x100)、B(黒x1、白x99)、C(白x99、黒x1)、D(白x100)
のようなケースを考え、最初に袋から黒を取りだしたとします。取りだした袋はA、B、Cのいずれかで、B、Cなら次に取りだす石は白ですが、最初に取りだした石はAの袋に入っていた確率は100/102で、次も栗である確率もその通りになるのは直感的にも明らかです。


ということです。この話は私同様の間違いをしている本がいくつも出ているので、ご注意のほどを。

18世紀のイギリスの数学者トーマス・ベイズはある事が起きる確率(事前確率)が何か情報をもたらせてくれる出来事が起こった後はどうかわるか(事後確率)ということに、ついてベイズの定理と呼ばれる計算式を見つけ出しました。ここでベイズの定理でモンティ・ホール問題を解きなおすことはしませんが(数学の得意な方にはごめんなさい)、ベイズの定理を使うと3つのドアの後ろに新車が隠れている「事前確率」は皆3分の1ですが、回答者が取らなかった2つのドアの一方が開けられると、開けられなかった方のドアの事後確率は3分の1から3分の2になることがわかります。
20061118104422.jpg
トーマス・ベイズ

ベイズの定理の応用の例として、偽陽性の問題があります。今1万人に1人が罹患する病気があったとします。この病気にかかっているかどうかを検査する検査薬があって、検査の精度は99%だとすると、検査で陽性になったとき、本当に罹患している確率はどれくらいでしょうか。99%の精度と聞いて、陽性と言われると99%罹患していると思ってしまうかもしれませんが、そうではありません。

この病気に罹患している確率は事前確率として1万の1です。99%の精度を誇る検査薬で陽性になったわけですが、本当に罹患して陽性になるのは、1万分の1の99%つまり99%の1万分の1、確率0.000099です。これに対し、本当は罹患していないのに検査薬のエラーで陽性になる確率は、1万分の9,999の1%、0.00999です。ですから、検査薬で陽性になったという条件が発生して、本当に罹患しているという事後確率は0.000099/(
0.000099+0.00999)=約0.01(1%)です。つまり、陽性と言われても、たった1%しか本当に病気である確率はないのです。

これだけならヘェーというだけかもしれませんが、DNA検査ように非常に高い確度で本人を特定できると思われているような場合注意が必要です。DNAバンクみたいなものを作って全国民を登録してしまった場合、DNAが同一であると特定された人が犯人である確かさは、DNA検査のエラーの確率が1千分の1、1百万分の1、100億分の1で大きく違ってきます。DNA検査が100億分の1のエラーしか起こさないなら、DNAが同一なら犯人である確率は国民が1億だとして99%ですが、100万分の1なら1%、千分の1なら0.001%しかありません。千に1つしか間違えない検査で犯人とされたらほとんど間違いないと思われそうですが、とんでもないわけです。

DNA検査の偶然の一致確率は、実際は1億8千万の1とか、最新技術で77兆分の1とか言われています。しかし、これらの値は「理論的」なDNAの一致確率で、検査自身がエラーを起こすことは考慮されていないでしょう。実際には77兆分の1のエラーしか起こさないような検査は、検査者や測定機械の間違いの可能性を考えれば、あまりありそうもありません。DNA検査による犯人探しは、他の証拠で犯人がある程度絞り込まれた状況でないと、間違えてしまう危険があると思うほうが良いでしょう。アメリカでは指紋については10年に1度くらいで、間違えることがあると言われています。

ベイズの定理の事前確率、事後確率という考え方を入れることで、事前確率がそれほど確かなものでなくても、新しい情報で事後確率を上げていくことが可能になります。科学の世界では事後確率を大きく向上させるような発見は価値が高いと考えられるので、科学的成果の定量化を行うことにも使えます。また、迷惑メールの発見に、システムが学習しながら事後確率を高めることにも使われています。ベイズの定理は2世紀以上を経過して、インターネットの世界でも重要性を増してきています。

テーマ:意思決定 - ジャンル:政治・経済

この記事に対するコメント
ふむ
古い記事へのコメントで申し訳ありませんが、子供の例は間違っているように思います。

子供の上下を考えない場合、(男男)/(男女)/(女女) であり、一方が男だとわかれば、もう一方が男である確立は 50% です。

他方、上下を考えた場合、(男男)/(男女)/(女男)/(女女) であるところまではよいのですが、一方が男だとわかった場合、(男男:上が男だとわかった場合)/(男男:下が男だとわかった場合)/(男女)/(女男) の 4 通りとなるため、上と同じく 50% ではないでしょうか。
上下を区別するのであれば、男とわかったのが上か下かも区別しなくてはいけないと思います。

石の場合は、そもそも袋に入れられる石にどのような規則があるのかという問題があります。
たとえば、黒2個白2個の4個から2個を取り出して入れた場合、黒が二個入る確立が黒と白一個ずつ入る確立より低くなります。
【2008/04/14 11:39】 URL | dl #mQop/nM. [ 編集]

子供の件
同じく古い記事に対するコメントなので気付かないかも知れませんが一応。

兄弟が二人で男女が50%ずつの可能性で生まれる場合、
(男男)=>25% (男女)=>50% (女女)=>25%
となりますので、片方が男だと分かれば男25%女50%だけが残り、1/3と2/3となります。

丁半で組み合わせの数だけ見て丁の方が有利、という錯誤と同じパターンですね。
よく分からない場合、乱数を使って簡単なプログラムをして試してみると良いですよ。
【2008/05/26 21:42】 URL | 通りすがり #YrGnQh/o [ 編集]


初めまして。ラスベガスをやっつけろの映画に、「モンティ・ホール問題」が出てくるのですが、きちんとした説明もされず納得できず、調べていたらこちらのブログにたどり着きました。
100のドアっていうのが、すごくわかりやすいですね!数学も数字も苦手なんですが、なんとなく分かった気がします。
この100のドアの部分、私のブログで引用させてもらいました。こちらのブログへのリンクもつけています。もし問題があるようでしたらご連絡ください。
興味深い記事がたくさんありそうなので、また読みにきます!
【2008/06/03 23:37】 URL | Myums #- [ 編集]

子供の件について
気付かれないかもしれないけれども書き残します。
問題は「一人が男の子だとわかったとき」と記述されているので
もう一人が男の子の確率は50%、というのが正解。

整理すると、以下の二つのケースでそれぞれ確率が異なることがポイントです。
ケースA:「二人のうちの一人が男の子だとわかったとき」
ケースB:「二人のうち、一人は男の子だとわかったとき」

ケースA:
二人の子を持つ親に次の質問をしたとします。
「お子さん二人のうち年上の子供は男の子ですか」
ここで親が「はい」と答えた場合
年下の子供が男の子の場合と女の子の場合はそれぞれ50%です。

ケースB:
一方、二人の子を持つ親に次の質問をしたとします。
「お子さん二人のうち男の子はいらっしゃいますか」
ここで親が「はい」と答えた場合
もう一人の子供が男の子の確率は1/3で、女の子の確率は2/3です。

たとえば:

○二人がいる家に電話をしたら、電話を受けた声が男の子の声だった。
 →ケースAにあたる。「二人のうちの一人が男の子だとわかった」
  したがって電話に出なかった子供が男の子の可能性は50%。

○二人がいる家の玄関先に鯉のぼりが飾ってあった。
 →ケースBにあたる。「二人のうち、一人は男の子だとわかった」
  したがってこの家に女の子がいる可能性は66.7%。
【2008/06/23 06:30】 URL | 3人目の通りすがり #- [ 編集]

3人目の通りすがりサンへ
本文をケースAのように解釈すると、もう一人の男、女の確率は確かに50%になります。しかし、本文で「多少ひっかけがあるかもしれません」と断っているように、本文はケースBとして考えています

結局「なぜ一人が男とわかったか」というときのわかり方がキーになります。電話に出た相手がたまたま男の子なら、もう一人の兄弟は男、女は50%。わかっている事実が子供二人ということで、追加の事実が一人は男の子がいることだけがわかったときに、女の子が一人もいない(つまり「もう一人」が男の子)の確率は3分の1です。もし二人子供がいることだけがわかっていて、女の子が一人もいない確率は4分の1ですね。どうも日本語にも問題がありそうです。
【2008/06/24 02:22】 URL | RealWaveConsultinh #- [ 編集]


ひとつ選んだ時点で残り二つの扉の確率は3分の2だけど、その内の一つがハズレだと判明したら、最初に選んだ扉も3文の2の確率にならないの?
【2008/09/06 19:56】 URL | んー #- [ 編集]


>ひとつ選んだ時点で残り二つの扉の確率は3分の2だけど、その内の一つがハズレだと>判明したら、最初に選んだ扉も3文の2の確率にならないの?


こちらんもご参照ください。
蛇足ですが・・・モンティ・ホール問題の不思議 (http://realwave.blog70.fc2.com/blog-entry-64.html)
【2008/09/09 07:30】 URL | RealWaveConsulting #- [ 編集]

質問です。
古い記事に対して恐縮ですが・・・。

この問題については以前から釈然としない感じが残っていますので、質問させてください(頭では分かっているつもりなのですが)。

参加者が最初に選んだ扉を1、司会者が開けた扉を3としますと、その時に、参加者が選択していた1の扉の当たり確率が1/3、2の扉の当たり確率が 2/3 というのはわかりました。ただ、再選択可能のところで、まったく事情を知らない人を連れてきて1,2の扉から選ばせた場合は、その最終選択だけに着目した確率は1/2なのではないでしょうか?

これは事象の範囲をどこまで設定するかという問題で、参加者・司会者・観客は3つの扉から1つを選択するという作業をやっているのに、なまじ再選択というチャンスがあるので、2つの扉から1つを選択するという事象にリセットされたように錯誤してしまうというのが根本のような気がしています。

「選びなおして外れると悔しいので普通は最初の扉に固執する」という人間心理をなくすために、サイコロを振って1か2の扉を選択するなら最終選択の確率は変わらないように思うのですが・・・。

ここまで書いてきて不安になってきました。2の扉は司会者の篩いを一度通っているという意味で、最終選択でサイコロを使ったとしても自ずから1よりも確率は高くなると考えるべきなのでしょうか?
【2008/11/05 10:22】 URL | 4人目?の通りすがり #- [ 編集]

質問への返答
>ただ、再選択可能のところで、まったく事情を知らない人を連れてきて1,2の扉から選ばせた場合は、その最終選択だけに着目した確率は1/2なのではないでしょうか?

前からの経過を全く知らないで、どちらかの扉に車が隠れていますよ、と言われたら、その人にとっては、扉の後ろに車がある確率は2分の1でしょうね。その人は親切な司会者のことを知らないわけですから、そうなります。
【2008/11/05 19:31】 URL | RealWaveConsulting #- [ 編集]


回答ありがとうございます。

> 前からの経過を全く知らないで、どちらかの扉に車が隠れていますよ、と言われたら、その人にとっては、扉の後ろに車がある確率は2分の1でしょうね。その人は親切な司会者のことを知らないわけですから、そうなります。

ここで、"前からの事情を知らない人の選択" を "サイコロを振って丁半で決める" と置き換えることができるのではないでしょうか? 置き換えられたとすると、最初の選択に固執して1の扉を選択するのと、サイコロを振って1の扉を選択するのとでは、前者が 1/3、後者が 1/2 と確率が異なるということになるのでしょうか? どうもこの辺りが釈然としません。
【2008/11/06 08:56】 URL | 4人目?の通りすがり #- [ 編集]


>最初の選択に固執して1の扉を選択するのと、サイコロを振って1の扉を選択するのとでは、前者が 1/3、後者が 1/2 と確率が異なるということになるのでしょうか?

サイコロを振るかどうかは関係ないですよね。2分の1と思って、どちらにするか決めかねたのなら、サイコロを振るでしょうが、1対2の差があると思って、サイコロに決めさせようという人はいないはずです。
2分の1になるか3分の1になるかは、司会者の選択という過程を経ているかどうかということの差です。難しく言えばベイズ確率で説明できますが、そんなことをするまでもないでしょう。
【2008/11/07 21:13】 URL | RealWaveConsulting #- [ 編集]


回答ありがとうございます。
どうも意図を伝えられなかったようなのでもう一度質問させてください。
(それか私の理解力が及ばないのか・・・)

このゲームにポリシーをもって望む人がいるとします。

Aさん:再選択の際に、最初に選択したものを必ず選択する。
Bさん:再選択の際に、最初に選択したものではない方を必ず選択する。

このAさん、Bさんが何度も同じゲームに出続ければ、Aさんが当たる確率
は1/3、Bさんの当たる確立は2/3に収斂していくというのはわかりました。

ここで、再選択の際に事情を知らない人を連れてくるか、電話などで連絡
をとり、必ずその人の選択をそのまま採用する というポリシーを持つCさん
がいたとします。事情を知らない人とCさんの当たり・はずれは一致します
ので、以前の回答からすると、このCさんの当たる確率は1/2になるのだと
思います(ここが違いますか?)。

というように私は理解しました。そこで質問した主旨は以下です。

さらに、選択の際には必ずサイコロを振って決めるというポリシーを持つ
Dさんがいたとします。このDさんの当たる確率はCさんと同じく1/2ではない
でしょうか?

このDさんの選択がたまたまAさんの選択と一致していた場合があったとします。
このときドアを開けて車がでてくる確率はポリシーの違いにより、1/2と1/3と
異なるのでしょうか?
【2008/11/13 12:50】 URL | 4人目?の通りすがり #- [ 編集]


>ここで、再選択の際に事情を知らない人を連れてくるか、電話などで連絡
をとり、必ずその人の選択をそのまま採用する というポリシーを持つCさん
がいたとします。事情を知らない人とCさんの当たり・はずれは一致します
ので、以前の回答からすると、このCさんの当たる確率は1/2になるのだと
思います(ここが違いますか?)。

CさんとDさんの選択が当たりになる確率は、主観的(CさんDさんの予測)にも、客観的(司会者の選択を知っている立場:私たち)にも2分の1です。

主観と客観の違いは、CさんDさんが実際に選択をした後です。CさんDさんは依然として自分選択の結果が当たりになるのは2分の1と思っているのに対し、客観的には3分の1(Aさんの選択が選ばれた)か3分の2(Bさんの選択が選ばれた)がわかります。

CさんDさんがAさんBさんどちらの選択と一致する選択をするかがわからない時点では、主観、客観は一致して2分の1となります。
【2008/11/18 06:41】 URL | RealWaveConsulting #- [ 編集]


わかりやすい。ありがとうございます。
【2010/01/04 05:35】 URL | 匿名 #- [ 編集]


やっぱり何度考えてもわかりません。
参加者がどの箱をあけようが、司会者は答えを知っているわけだからはずれしか選びませんよね。はじめの箱とそれ以外の箱を1/3と2/3で区切れるのは、司会者が開ける箱の選択肢が限られる場合だけではないのでしょうか。
例えば参加者がはじめの箱を選び、残った箱のうち司会者が偶然開けた箱がはずれなら、残りは2/3かもしれませんが、はずれの箱をあけると決めている以上、参加者が選ばなかった箱と司会者が選ぶ箱をひとつの概念としてくくれないと思います。
100個の箱の例だって99個はずれの箱を確信持って開けたら何の意味も感じません。むしろ司会者がたまたま98個はずれを選んだら、司会者の残りの箱があたりである確率は高くなるように感じられます。
【2010/01/04 21:19】 URL | また通りすがり #- [ 編集]


結局箱を100に増やせば、とすれば「直感的にわかる」なんて言ってる方はなーんにも理解していないのです。モンティホール問題の肝は以下です。

もし、司会者が正解を知らないとしたら、参加者が選びなおさなかった場合、以下のパターンがありえます。

ケース1)参加者が選んだ箱が正解だった。参加者の勝ち。(確率 1/3)
ケース2)司会者が交換を薦めた箱が正解で、司会者の勝ち。(確率 1/3)
ケース3)司会者が交換を薦める過程で、開いてみせる箱が正解でどっちらける。(確率 1/3)

しかし、司会者は正解を「知っている」ので、ケース3はありえないのです。ケース3は2に含まれてしまいます。つまり、これは参加者が1つ、司会者が2つ箱を取るゲームでもともと参加者の勝率は33%、司会者の勝率は66%なのです。

「ひとつ箱を開ける動作」はブラフであり、意味のない動作です。司会者は「君の1つ、私の2つを交換しようか?」と言っているも同然なのです。

当然数が多いほうが確率が多い。それがこの問題の肝です。
【2010/01/10 22:37】 URL | 匿名 #- [ 編集]


頭だけで考えると納得できませんが、図で考えるとわかりやすいです。
こちらのサイトを参照下さい。
よくわかりますよ。

「ネコでもわかるモンティホールジレンマ」
       ↓
http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html
【2010/08/05 00:43】 URL | ともてぃ #- [ 編集]

コメント
頭だけで考えると納得できませんが、図で考えるとわかりやすいです。
こちらのサイトを参照下さい。
よくわかりますよ。

「ネコでもわかるモンティホールジレンマ」
       ↓
http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html
【2010/08/05 00:44】 URL | ともてぃ #- [ 編集]

兄弟と黒石白石問題についての質問
兄弟や黒石白石の問題の確率計算は誤りと思います。
答えを 1/3、2/3 とするのは良くある短絡的な考えで、ベイズの定理を無視しています。

兄弟や黒石白石の問題は、私も何度か本などで読んだ記憶があり、世間では正しいとされていると思いますが、恐らく有名人がこうだと発表(書物に示すなど)して、誤りが定着したのではないかと考えています。

兄弟の問題より黒石白石の方が分かりやすいので、これを例に以下実際に計算してみます。
当然計算方法は現代の我々の常識的な確率論、つまりベイズの考えを当たり前とし、条件付き確率が正しいという考えで行います。

袋A、B、C、Dの中を A(黒黒)、B(黒白)、C(白黒)、D(白白) とします。
任意に袋を選び、その中から任意に1つ石を取り出したとき、それが黒だったとします。

この時点で 「袋の中のうち少なくとも1つは黒だと分かった」 ことになります。
この後、残りの石が黒の確率、白の確率を求めます。

袋の可能性はA、B、Cの3つですが、そこで単純に黒:1/3、白:2/3 とするのは
あまりにも短絡すぎです。条件付き確率を無視しています。

条件的確率を求めるため、最初に黒を取り出す確率をきっちり計算します。
以下の4つの確率をすべて加えた値になりますね。
 袋Aを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (2/2) = 1/4
 袋Bを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (1/2) = 1/8
 袋Cを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (1/2) = 1/8
 袋Dを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (0/2) = 0
 
計算すれば (1/4) + (1/8) + (1/8) +0 = 1/2 となります。
黒白対称ですから、1/2 になるのは当然ですね。しかし、その1/2の内訳は均等ではありません。
条件つき確率を計算すれば、この黒石が、
 袋Aのものである確率: (1/4) ÷ (1/2) = 1/2
 袋Bのものである確率: (1/8) ÷ (1/2) = 1/4
 袋Cのものである確率: (1/8) ÷ (1/2) = 1/4
 袋Dのものである確率: 0 ÷ (1/2) = 0
となります。

直感的にも正しいですよね。
A(全部が黒)、B(黒は半分)、C(黒は半分)、D(黒は無い)
と表現すれば、黒石は「Aから取り出した可能性が高そうだ」と思いますよね。

実際に石を用意しても良いですし、思考実験しても上記の確率が正しいと分かるはずです。

このベイズの考えによる条件付き確率を正しいとするならば、選んだ袋の残りの石は
以下のようになります。
 黒の確率:袋がAである確率と同じなので 1/2
 白の確率:袋がBの確率とCの確率の合計になるので
  (1/4) + (1/4) = 1/2

つまり 1/3 と 2/3 とするのは短絡的な考えであり、錯覚であって、本当は
どちらも 1/2 となるのが正しいのです。


実際に 1/3 と 2/3 が正しいとすると大きな矛盾が出ることを以下に示します。

黒を取り出した後の残りが
 黒である確率:1/3、白である確率:2/3

とすると、黒白対称の問題なので、

白を取り出したあとの残りが
 白である確率:1/3、黒である確率:2/3

となりますよね。

これを元に、袋A、B、C、Dの確率分布を考えると

袋A(黒黒)の確率は
 最初に黒を取り出し、残りが黒のときなので
 (1/2) × (1/3) = 1/6
袋B(黒白) または 袋C(白黒)の確率は
 最初に黒を取り出し、残りが白のとき
  (1/2) × (2/3) = 1/3
 最初に白を取り出し、残りが黒のとき
  (1/2) × (2/3) = 1/3
 の合計で
 (1/3) + (1/3) = 2/3
袋D(白白)の確率は
 最初に白を取り出し、残りが白のときなので
 (1/2) × (1/3) = 1/6

となります。つまり、袋は
 A(黒黒): 1/6
 B(黒白) または C(白黒): 2/3
 D(白白): 1/6
の確率で分布していることになり、最初の仮定と大きく矛盾します。

兄弟の問題に関しても同様で、選んだペアの片方が男の子だと分かったとしても、
それは(男男)、(男女)、(女男)の可能性が均等にあるわけではなく、

(男男):1/2、(男女):1/4、(女男):1/4 という確率になるのです。
そもそも(女女)の確率を 0 としておきながら、(男男)、(男女)が同じと考える方が不自然で、本当に同じなのだろうか?と考えて当然だと思うのですが。。。
少なくとも数学者なら。。。

この問題、世間の多くの人が騙されている、というか何も考えずに鵜呑みにしている
としか思えないのです。

上記の確率計算に誤りがあれば教えてください。
【2010/09/23 17:51】 URL | kiwi #nLnvUwLc [ 編集]

Re: 兄弟と黒石白石問題についての質問
kiwi様、
ご指摘の通りと思います。

モデルを少し変えて、
A(黒x100)、B(黒x1、白x99)、C(白x99、黒x1)、D(白x100)
のようなケースを考え、最初に袋から黒を取りだしたとします。取りだした袋はA、B、Cのいずれかで、B、Cなら次に取りだす石は白ですが、最初に取りだした石はAの袋に入っていた確率は100/102で、次も栗である確率もその通りになるのは直感的にも明らかです。

確率を考えるのは簡単そうで難しいという典型ですね。お礼申し上げます。

> 兄弟や黒石白石の問題の確率計算は誤りと思います。
> 答えを 1/3、2/3 とするのは良くある短絡的な考えで、ベイズの定理を無視しています。
>
> 兄弟や黒石白石の問題は、私も何度か本などで読んだ記憶があり、世間では正しいとされていると思いますが、恐らく有名人がこうだと発表(書物に示すなど)して、誤りが定着したのではないかと考えています。
>
> 兄弟の問題より黒石白石の方が分かりやすいので、これを例に以下実際に計算してみます。
> 当然計算方法は現代の我々の常識的な確率論、つまりベイズの考えを当たり前とし、条件付き確率が正しいという考えで行います。
>
> 袋A、B、C、Dの中を A(黒黒)、B(黒白)、C(白黒)、D(白白) とします。
> 任意に袋を選び、その中から任意に1つ石を取り出したとき、それが黒だったとします。
>
> この時点で 「袋の中のうち少なくとも1つは黒だと分かった」 ことになります。
> この後、残りの石が黒の確率、白の確率を求めます。
>
> 袋の可能性はA、B、Cの3つですが、そこで単純に黒:1/3、白:2/3 とするのは
> あまりにも短絡すぎです。条件付き確率を無視しています。
>
> 条件的確率を求めるため、最初に黒を取り出す確率をきっちり計算します。
> 以下の4つの確率をすべて加えた値になりますね。
>  袋Aを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (2/2) = 1/4
>  袋Bを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (1/2) = 1/8
>  袋Cを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (1/2) = 1/8
>  袋Dを選び、かつ黒を取り出す確率: (1/4) × (0/2) = 0
>  
> 計算すれば (1/4) + (1/8) + (1/8) +0 = 1/2 となります。
> 黒白対称ですから、1/2 になるのは当然ですね。しかし、その1/2の内訳は均等ではありません。
> 条件つき確率を計算すれば、この黒石が、
>  袋Aのものである確率: (1/4) ÷ (1/2) = 1/2
>  袋Bのものである確率: (1/8) ÷ (1/2) = 1/4
>  袋Cのものである確率: (1/8) ÷ (1/2) = 1/4
>  袋Dのものである確率: 0 ÷ (1/2) = 0
> となります。
>
> 直感的にも正しいですよね。
> A(全部が黒)、B(黒は半分)、C(黒は半分)、D(黒は無い)
> と表現すれば、黒石は「Aから取り出した可能性が高そうだ」と思いますよね。
>
> 実際に石を用意しても良いですし、思考実験しても上記の確率が正しいと分かるはずです。
>
> このベイズの考えによる条件付き確率を正しいとするならば、選んだ袋の残りの石は
> 以下のようになります。
>  黒の確率:袋がAである確率と同じなので 1/2
>  白の確率:袋がBの確率とCの確率の合計になるので
>   (1/4) + (1/4) = 1/2
>
> つまり 1/3 と 2/3 とするのは短絡的な考えであり、錯覚であって、本当は
> どちらも 1/2 となるのが正しいのです。
>
>
> 実際に 1/3 と 2/3 が正しいとすると大きな矛盾が出ることを以下に示します。
>
> 黒を取り出した後の残りが
>  黒である確率:1/3、白である確率:2/3
>
> とすると、黒白対称の問題なので、
>
> 白を取り出したあとの残りが
>  白である確率:1/3、黒である確率:2/3
>
> となりますよね。
>
> これを元に、袋A、B、C、Dの確率分布を考えると
>
> 袋A(黒黒)の確率は
>  最初に黒を取り出し、残りが黒のときなので
>  (1/2) × (1/3) = 1/6
> 袋B(黒白) または 袋C(白黒)の確率は
>  最初に黒を取り出し、残りが白のとき
>   (1/2) × (2/3) = 1/3
>  最初に白を取り出し、残りが黒のとき
>   (1/2) × (2/3) = 1/3
>  の合計で
>  (1/3) + (1/3) = 2/3
> 袋D(白白)の確率は
>  最初に白を取り出し、残りが白のときなので
>  (1/2) × (1/3) = 1/6
>
> となります。つまり、袋は
>  A(黒黒): 1/6
>  B(黒白) または C(白黒): 2/3
>  D(白白): 1/6
> の確率で分布していることになり、最初の仮定と大きく矛盾します。
>
> 兄弟の問題に関しても同様で、選んだペアの片方が男の子だと分かったとしても、
> それは(男男)、(男女)、(女男)の可能性が均等にあるわけではなく、
>
> (男男):1/2、(男女):1/4、(女男):1/4 という確率になるのです。
> そもそも(女女)の確率を 0 としておきながら、(男男)、(男女)が同じと考える方が不自然で、本当に同じなのだろうか?と考えて当然だと思うのですが。。。
> 少なくとも数学者なら。。。
>
> この問題、世間の多くの人が騙されている、というか何も考えずに鵜呑みにしている
> としか思えないのです。
>
> 上記の確率計算に誤りがあれば教えてください。
【2010/09/25 04:38】 URL | RealWave #- [ 編集]

やはり1:2では?
mixiでモンティホール問題が流行っていたので辿り着きました。

最初男女の確率は1:1だろうと思い、他の人の書き込みを見る内にやはり確率1:2だと思うようになり、最後のkiwiさんの書き込みを見て、やはり1:1だったのかーと思いました。

が、再度1:2と言ってる人の書き込み見ましたが、上手くその考えが間違ってると示せませんでした。

実証してみようと、トランプを1枚引いて、混ぜなおしてもう一枚引く、ってことをやってみました。

ばらつきもありましたが、赤赤、赤黒、黒赤、黒黒、が出てくる確率は当然等しいです。

ここで、別の第3者がその2枚の手札には「黒が含まれている」と言ったとします。

その場合、黒黒と黒赤である確率比率は、やはり1:2になってしまいます。

この論理をどうしても否定できませんでした。


じゃあ、何がおかしいのかと考えた際、kiwiさんの考え方だと、ベイズの条件部設定がおかしいんじゃないかと思いました。

問題は

「小さな袋の石の少なくとも一つが黒だったとわかったとしましょう」

です。

つまりベイズの定理の条件部にあたる確率は

「2個の内、少なくとも1個が黒である確率」です。

kiwiさんの設定だと

「2個の内から1個を取り出して、それが黒である確率」です。

この設定だと、確かに黒い袋から黒い石を取り出す確率は、白黒の袋より2倍高いです。

でも、「少なくとも一個が黒石である」確率なら、残った袋3つとも等確率です。



つまりベイズの定理を使う場合は

「少なくとも一個が黒石である」を条件とした時に、「もう片方が白(黒)石である」を結果とする確率ではないでしょうか。

それを求めると1:2になります。


相当吟味されているはずの問題が、「ベイズの定理を考慮していないから間違っている」というのは、今考えるとおかしな話です。

吟味した人たちはベイズの定理など知っていて当然ではないかと思います。
【2011/01/04 01:36】 URL | T #JalddpaA [ 編集]

kiwiさんの指摘の誤り
こんにちは。
ふとしたきっかけでモンティホール問題に行き当たって、ここに来ました。
(実は「モンティホール問題」の名称を忘れて、いろいろ探してここにたどり着きました。)

kiwiさんの指摘を読んで、どこか違和感を感じていたのですが、Tさんの書き込みで、その誤りに気づきました。

モンティホール問題では、司会者が答えを知っていることがポイントになります。

それを、白黒の問題に当てはめると、1つ目に取り出す石について、
どの袋から引いたか知っている第三者が、意図的に黒石(または白石)を選んでいるという条件が必要になります。

つまり、
A(黒x100)、B(黒x1、白x99)、C(白x99、黒x1)、D(白x100)
であったとしても、A,B,Cから黒を引く確率は同等で、1/3ずつとなります。
【2011/03/23 21:19】 URL | Yz #- [ 編集]

今日、「数学セミナー」を立ち読みしたのですが
 初めまして。

 今日「数学セミナー」のモンティホール問題の記事を読んでここにきました。以前、「著名な数学者も誤った」という話を聞いて、「アホな数学者だな」と思ったのですが、「そもそもそのエルディッシュが読んだ問題文が曖昧だったのでは?」という推測に、「なるほど!」と思いました。雑誌の記事は番組を知っていることを前提のもので、エルディッシュはテレビを見ていないので、記事だけから解釈して、1/2としたのではないか、というのです。

 で、気になって検索して、ここにたどりついた次第です。

>あなたが1つのドアを選んだ後、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者が残りの2つのドアのうちヤギがいる方のドアを開けました。

これでは、

A 司会者が、残りの2つのうちの1つを無作為に開けた。結果はヤギ
B 司会者は、必ずヤギがいるドアを開けることになっているので、その通りにした。
C 司会者は、思いつきでヤギのドアを開けた。

という異なった解釈が可能です。

Aの場合、変更してもしなくても1/2
Bの場合、変更しないなら1/3 変更したら2/3 です。
Cの場合、司会者の意図を推測することになりもやは数学ではない。数学としての確率計算は不可能。

AやCではなくBである、というのを問題文にきちんと分かるように書くべきだと思います。
【2011/07/08 03:35】 URL | 積分定数 #- [ 編集]

子供の問題
男だと分かっている子を「自分」とすると、組み合わせとしては
(自分、男)、(自分、女)、(男、自分)、(女、自分) の4通りになるので
もう1人が男である確率は、やはり50%です。

(自分、男) と (男、自分) を一緒にしてしまっているところが問題かと。
【2012/12/08 14:46】 URL | ぼなお #- [ 編集]


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